Упр.22.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:
   1. $$2^{2n}\cdot 5^n-3^{2n}$$ кратно 11;
   2. $$7^n\cdot{}^{3n}-2^{2n}$$ кратно 37.

1) Преобразуем выражение:

$$2^{2n}\cdot 5^n-3^{2n}=(2^2)^n\cdot 5^n-(3^2)^n=4^n\cdot 5^n-9^n=20^n-9^n.$$

Используем формулу разности степеней:

$$20^n-9^n=(20-9)\left(20^{n-1}+20^{n-2}\cdot 9+20^{n-3}\cdot 9^2+\cdots+20\cdot 9^{n-2}+9^{n-1}\right).$$

Тогда

$$20^n-9^n=11\left(20^{n-1}+20^{n-2}\cdot 9+20^{n-3}\cdot 9^2+\cdots+20\cdot 9^{n-2}+9^{n-1}\right),$$

значит, выражение кратно $$11$$.

2) Аналогично:

$$7^n\cdot 3^{3n}-2^{2n}=7^n\cdot (3^3)^n-(2^2)^n=7^n\cdot 27^n-4^n=189^n-4^n.$$

Применим формулу разности степеней:

$$189^n-4^n=(189-4)\left(189^{n-1}+189^{n-2}\cdot 4+189^{n-3}\cdot 4^2+\cdots+189\cdot 4^{n-2}+4^{n-1}\right).$$

Получаем

$$189^n-4^n=185\left(189^{n-1}+189^{n-2}\cdot 4+189^{n-3}\cdot 4^2+\cdots+189\cdot 4^{n-2}+4^{n-1}\right).$$

Так как $$185$$ делится на $$37$$, то и всё выражение кратно $$37$$.

Ответ

1) Кратно $$11$$; 2) кратно $$37$$.