Упр.22.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) 27^n +12 кратно 13;
2) 17^n +15 кратно 16;
3) 8^n +15^n -2 кратно 7;
4) 3·9^n +7·7^2n кратно 10.

1. $$27^n+12=27^n-1+13=(27-1)(27^{n-1}+27^{n-2}+\dots+27+1)+13.$$

   Так как $$27-1=26=2\cdot 13,$$ то
   $$27^n+12=13\bigl(2(27^{n-1}+27^{n-2}+\dots+27+1)+1\bigr),$$
   значит, выражение кратно $$13.$$

2. $$17^n+15=17^n-1+16=(17-1)(17^{n-1}+17^{n-2}+\dots+17+1)+16.$$

   Так как $$17-1=16,$$ то
   $$17^n+15=16(17^{n-1}+17^{n-2}+\dots+17+1)+16=16(17^{n-1}+17^{n-2}+\dots+17+2),$$
   значит, выражение кратно $$16.$$

3. $$8^n+15^n-2=(8^n-1)+(15^n-1)=(8-1)(8^{n-1}+8^{n-2}+\dots+8+1)+(15-1)(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1).$$

   Тогда
   $$8^n+15^n-2=7(8^{n-1}+8^{n-2}+\dots+8+1)+14(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1).$$

   Вынесем $$7$$ за скобки:
   $$8^n+15^n-2=7\Bigl(8^{n-1}+8^{n-2}+\dots+8+1+2(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1)\Bigr),$$
   значит, выражение кратно $$7.$$

4. $$3\cdot 9^n+7\cdot 7^{2n}=3\cdot (3^2)^n+7\cdot 7^{2n}=3^{2n+1}+7^{2n+1}.$$

   Так как $$3\equiv -7 \pmod{10},$$ то
   $$3^{2n+1}+7^{2n+1}\equiv (-7)^{2n+1}+7^{2n+1}=-7^{2n+1}+7^{2n+1}\equiv 0 \pmod{10}.$$

   Следовательно, выражение кратно $$10.$$

Ответ

1) кратно $$13$$; 2) кратно $$16$$; 3) кратно $$7$$; 4) кратно $$10$$.