Упр.22.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 22.5. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения: 1) $$15^n+13$$ кратно 7; 2) $$9^n+5^n-2$$ кратно 4; 3) $$5\cdot25^n+13\cdot13^{2n}$$ кратно 9; 4) $$21^n+4^{n+2}$$ кратно 17.

1. $$15^n+13=15^n-1+14=(15-1)(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1)+14.$$

   $$=14(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1)+14=7\bigl(2(15^{n-1}+15^{n-2}+\dots+15+1)+2\bigr).$$

   Значит, $$15^n+13$$ кратно $$7$$.

2. $$9^n+5^n-2=(9^n-1)+(5^n-1)=(9-1)(9^{n-1}+9^{n-2}+\dots+9+1)+(5-1)(5^{n-1}+5^{n-2}+\dots+5+1).$$

   $$=8(9^{n-1}+9^{n-2}+\dots+9+1)+4(5^{n-1}+5^{n-2}+\dots+5+1).$$

   $$=4\bigl(2(9^{n-1}+9^{n-2}+\dots+9+1)+(5^{n-1}+5^{n-2}+\dots+5+1)\bigr).$$

   Следовательно, $$9^n+5^n-2$$ кратно $$4$$.

3. $$5\cdot 25^n+13\cdot 13^{2n}=5\cdot (5^2)^n+13\cdot 13^{2n}=5^{2n+1}+13^{2n+1}.$$

   $$5^{2n+1}+13^{2n+1}=(5+13)\bigl(5^{2n}-5^{2n-1}\cdot 13+5^{2n-2}\cdot 13^2-\dots-5\cdot 13^{2n-1}+13^{2n}\bigr).$$

   $$=18\bigl(5^{2n}-5^{2n-1}\cdot 13+5^{2n-2}\cdot 13^2-\dots-5\cdot 13^{2n-1}+13^{2n}\bigr).$$

   Так как $$18$$ кратно $$9$$, то и выражение кратно $$9$$.

4. $$21^n+4^{n+2}=21^n+4^n\cdot 4^2=21^n+16\cdot 4^n.$$

   $$21^n+16\cdot 4^n=21^n-4^n+17\cdot 4^n=(21-4)(21^{n-1}+21^{n-2}\cdot 4+\dots+21\cdot 4^{n-2}+4^{n-1})+17\cdot 4^n.$$

   $$=17\bigl(21^{n-1}+21^{n-2}\cdot 4+\dots+21\cdot 4^{n-2}+4^{n-1}+4^n\bigr).$$

   Значит, $$21^n+4^{n+2}$$ кратно $$17$$.

Ответ

1) кратно $$7$$; 2) кратно $$4$$; 3) кратно $$9$$; 4) кратно $$17$$.