Упр.22.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

22. 4. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения: 1) $$17^n-1$$ кратно 16; 2) $$23^{2n+1}+1$$ кратно 24; 3) $$13^{2n+1}+1$$ кратно 14.

1. Используем формулу разности степеней:
   $$17^n-1=(17-1)(17^{n-1}+17^{n-2}+\dots+17+1).$$

   Тогда
   $$17^n-1=16(17^{n-1}+17^{n-2}+\dots+17+1),$$
   значит, выражение кратно $$16$$.

2. Сначала вынесем общий множитель по формуле суммы степеней:
   $$23^{2n+1}+1=(23+1)(23^{2n}-23^{2n-1}+23^{2n-2}-\dots-23+1).$$

   Получаем
   $$23^{2n+1}+1=24(23^{2n}-23^{2n-1}+23^{2n-2}-\dots-23+1),$$
   значит, выражение кратно $$24$$.

3. Аналогично:
   $$13^{2n+1}+1=(13+1)(13^{2n}-13^{2n-1}+13^{2n-2}-\dots-13+1).$$

   Тогда
   $$13^{2n+1}+1=14(13^{2n}-13^{2n-1}+13^{2n-2}-\dots-13+1),$$
   значит, выражение кратно $$14$$.

Ответ

1) кратно $$16$$; 2) кратно $$24$$; 3) кратно $$14$$.