Упр.22.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) 7^n -1 кратно 6;
2) 19^(2n+1)+1 кратно 20;
3) 16^n -11^n кратно 5.

1) Разложим разность степеней на множители:

$$ 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+7^{n-2}+7^{n-3}+\dots+7+1). $$

Так как $$7-1=6,$$ то

$$ 7^n-1=6(7^{n-1}+7^{n-2}+7^{n-3}+\dots+7+1), $$

значит, $$7^n-1$$ кратно $$6.$$

2) Аналогично:

$$ 19^{2n+1}+1=(19+1)(19^{2n}-19^{2n-1}+19^{2n-2}-\dots-19+1). $$

Так как $$19+1=20,$$ получаем

$$ 19^{2n+1}+1=20(19^{2n}-19^{2n-1}+19^{2n-2}-\dots-19+1), $$

следовательно, $$19^{2n+1}+1$$ кратно $$20.$$

3) Вынесем разность степеней:

$$ 16^n-11^n=(16-11)(16^{n-1}+16^{n-2}\cdot 11+16^{n-3}\cdot 11^2+\dots+11^{n-1}). $$

Так как $$16-11=5,$$ то

$$ 16^n-11^n=5(16^{n-1}+16^{n-2}\cdot 11+16^{n-3}\cdot 11^2+\dots+11^{n-1}), $$

значит, $$16^n-11^n$$ кратно $$5.$$

Ответ

1) кратно $$6$$; 2) кратно $$20$$; 3) кратно $$5$$.