Упр.22.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 22.3. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:
   1) $$7^n-1$$ кратно $$6$$;
   2) $$19^{2n+1}+1$$ кратно $$20$$;
   3) $$16^n-11^n$$ кратно $$5$$.

1) Разложим разность степеней на множители:

$$7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+7^{n-2}+7^{n-3}+\dots+7+1).$$

Так как $$7-1=6,$$ то

$$7^n-1=6(7^{n-1}+7^{n-2}+7^{n-3}+\dots+7+1),$$

значит, $$7^n-1$$ кратно $$6.$$

2) Аналогично:

$$19^{2n+1}+1=(19+1)(19^{2n}-19^{2n-1}+19^{2n-2}-\dots-19+1).$$

Так как $$19+1=20,$$ получаем

$$19^{2n+1}+1=20(19^{2n}-19^{2n-1}+19^{2n-2}-\dots-19+1),$$

следовательно, $$19^{2n+1}+1$$ кратно $$20.$$

3) Вынесем разность степеней:

$$16^n-11^n=(16-11)(16^{n-1}+16^{n-2}\cdot 11+16^{n-3}\cdot 11^2+\dots+11^{n-1}).$$

Так как $$16-11=5,$$ то

$$16^n-11^n=5(16^{n-1}+16^{n-2}\cdot 11+16^{n-3}\cdot 11^2+\dots+11^{n-1}),$$

значит, $$16^n-11^n$$ кратно $$5.$$

Ответ

1) кратно $$6$$; 2) кратно $$20$$; 3) кратно $$5$$.