Упр.22.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) 7·5^2n +12·6^n делится нацело на 19;
2) 7^(n+2) +8^(2n+1) делится нацело на 57;
3) 13^(n+2) +14^(2n+1) делится нацело на 183;
4) 3^(2n+2) +2^(6n+1) делится нацело на 11.

1. $$7\cdot 5^{2n}+12\cdot 6^n=7\cdot 25^n+12\cdot 6^n.$$
   Так как $$25\equiv 6 \pmod{19},$$ то
   $$25^n-6^n$$ делится на $$19$$. Тогда

   $$ 7\cdot 25^n+12\cdot 6^n =7(25^n-6^n)+19\cdot 6^n. $$
   Следовательно, выражение делится нацело на $$19$$.

2. $$ 7^{n+2}+8^{2n+1}=49\cdot 7^n+8\cdot 64^n. $$
   Заметим, что $$49\equiv -8 \pmod{57}$$ и $$64\equiv 7 \pmod{57}.$$ Тогда

   $$ 49\cdot 7^n+8\cdot 64^n =57\cdot 7^n+8(64^n-7^n). $$
   Так как $$64\equiv 7 \pmod{57},$$ то $$64^n-7^n$$ делится на $$57$$. Значит, всё выражение делится нацело на $$57$$.

3. $$ 13^{n+2}+14^{2n+1}=169\cdot 13^n+14\cdot 196^n. $$
   Поскольку $$169\equiv -14 \pmod{183}$$ и $$196\equiv 13 \pmod{183},$$ получаем

   $$ 169\cdot 13^n+14\cdot 196^n =183\cdot 13^n+14(196^n-13^n). $$
   Так как $$196\equiv 13 \pmod{183},$$ то $$196^n-13^n$$ делится на $$183$$. Следовательно, выражение делится нацело на $$183$$.

4. $$ 3^{2n+2}+2^{6n+1}=9\cdot 9^n+2\cdot 64^n. $$
   Так как $$9\equiv -2 \pmod{11}$$ и $$64\equiv -2 \pmod{11},$$ то

   $$ 9\cdot 9^n+2\cdot 64^n =11\cdot 9^n+2(64^n-9^n). $$
   Поскольку $$64\equiv 9 \pmod{11},$$ разность $$64^n-9^n$$ делится на $$11$$. Значит, всё выражение делится нацело на $$11$$.

Ответ

1) делится на $$19$$; 2) делится на $$57$$; 3) делится на $$183$$; 4) делится на $$11$$.