Упр.22.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

22.15. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:
1) $$7\cdot 5^{2n}+12\cdot 6^n$$ делится нацело на 19;
2) $$7^{n+2}+8^{2n+1}$$ делится нацело на 57;
3) $$13^{n+2}+14^{2n+1}$$ делится нацело на 183;
4) $$3^{2n+2}+2^{6n+1}$$ делится нацело на 11.

Подробный ответ

$$7\cdot 5^{2n}+12\cdot 6^n=7\cdot 25^n+12\cdot 6^n.$$
Так как $$25\equiv 6 \pmod{19},$$ то
$$25^n-6^n$$ делится на $$19$$. Тогда
$$7\cdot 25^n+12\cdot 6^n =7(25^n-6^n)+19\cdot 6^n.$$
Следовательно, выражение делится нацело на $$19$$.
$$7^{n+2}+8^{2n+1}=49\cdot 7^n+8\cdot 64^n.$$
Заметим, что $$49\equiv -8 \pmod{57}$$ и $$64\equiv 7 \pmod{57}.$$ Тогда
$$49\cdot 7^n+8\cdot 64^n =57\cdot 7^n+8(64^n-7^n).$$
Так как $$64\equiv 7 \pmod{57},$$ то $$64^n-7^n$$ делится на $$57$$. Значит, всё выражение делится нацело на $$57$$.
$$13^{n+2}+14^{2n+1}=169\cdot 13^n+14\cdot 196^n.$$
Поскольку $$169\equiv -14 \pmod{183}$$ и $$196\equiv 13 \pmod{183},$$ получаем
$$169\cdot 13^n+14\cdot 196^n =183\cdot 13^n+14(196^n-13^n).$$
Так как $$196\equiv 13 \pmod{183},$$ то $$196^n-13^n$$ делится на $$183$$. Следовательно, выражение делится нацело на $$183$$.
$$3^{2n+2}+2^{6n+1}=9\cdot 9^n+2\cdot 64^n.$$
Так как $$9\equiv -2 \pmod{11}$$ и $$64\equiv -2 \pmod{11},$$ то
$$9\cdot 9^n+2\cdot 64^n =11\cdot 9^n+2(64^n-9^n).$$
Поскольку $$64\equiv 9 \pmod{11},$$ разность $$64^n-9^n$$ делится на $$11$$. Значит, всё выражение делится нацело на $$11$$.