Упр.22.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 22.14. Решите уравнение:
   1) $$(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4)=(1+x+x^2+x^3)^2$$;
   2) $$(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+\cdots+x^7)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2$$.

1. $$\left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right)=\left(1+x+x^2+x^3\right)^2.$$

   Умножим обе части уравнения на $$\left(1-x\right)^2$$. Так как $$\left(1-x\right)^2\neq 0$$, то $$x\neq 1$$.

   $$\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right) = \left(1-x\right)^2\left(1+x+x^2+x^3\right)^2$$

   $$\left(1-x^3\right)\left(1-x^5\right)=\left(1-x^4\right)^2$$

   $$1-x^5-x^3+x^8=1-2x^4+x^8$$

   $$-x^5-x^3+2x^4=0$$

   $$-x^3\left(x^2-2x+1\right)=0$$

   $$-x^3\left(x-1\right)^2=0$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$. Но $$x=1$$ не подходит, значит
   $$x=0$$.

2. $$\left(1+x+x^2+x^3\right)\left(1+x+x^2+\dots+x^7\right)=\left(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\right)^2.$$

   Умножим обе части уравнения на $$\left(1-x\right)^2$$. При этом $$x\neq 1$$.

   $$\left(1-x^4\right)\left(1-x^8\right)=\left(1-x^6\right)^2$$

   $$1-x^8-x^4+x^{12}=1-2x^6+x^{12}$$

   $$-x^8-x^4+2x^6=0$$

   $$-x^4\left(x^4-2x^2+1\right)=0$$

   $$-x^4\left(x^2-1\right)^2=0$$

   Значит, $$x=0$$ или $$x^2-1=0$$, то есть $$x=\pm 1$$. Но $$x=1$$ не подходит, поэтому
   $$x=0$$ или $$x=-1$$.

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=-1,\;0$$.