Упр.22.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 22.13. Докажите, что значение выражения 1^101 +2^101 +3^101 +…+30^101 деоится нацело на 31.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$ 1^{101}+2^{101}+3^{101}+\dots+30^{101} $$

$$ =(1^{101}+30^{101})+(2^{101}+29^{101})+\dots+(15^{101}+16^{101}). $$

Рассмотрим любую пару $$k^{101}+(31-k)^{101}$$, где $$k=1,2,\dots,15$$. Так как $$31-k\equiv -k \pmod{31}$$, то

$$ k^{101}+(31-k)^{101}\equiv k^{101}+(-k)^{101}=k^{101}-k^{101}\equiv 0 \pmod{31}. $$

Значит, каждая такая пара делится на $$31$$, а следовательно, и вся сумма делится на $$31$$.

Ответ

$$1^{101}+2^{101}+3^{101}+\dots+30^{101}$$ делится нацело на $$31$$.