Упр.22.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

22. 13. Докажите, что значение выражения $$1^{101}+2^{101}+3^{101}+\ldots+30^{101}$$ делится нацело на 31.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$1^{101}+2^{101}+3^{101}+\dots+30^{101}$$

$$=(1^{101}+30^{101})+(2^{101}+29^{101})+\dots+(15^{101}+16^{101}).$$

Рассмотрим любую пару $$k^{101}+(31-k)^{101}$$, где $$k=1,2,\dots,15$$. Так как $$31-k\equiv -k \pmod{31}$$, то

$$k^{101}+(31-k)^{101}\equiv k^{101}+(-k)^{101}=k^{101}-k^{101}\equiv 0 \pmod{31}.$$

Значит, каждая такая пара делится на $$31$$, а следовательно, и вся сумма делится на $$31$$.

Ответ

$$1^{101}+2^{101}+3^{101}+\dots+30^{101}$$ делится нацело на $$31$$.