Упр.22.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

22.12. Известно, что значение выражения $$2^n+1$$, где $$n$$ — натуральное число, является простым числом. Докажите, что либо $$n=1$$, либо $$n$$ — степень числа $$2$$.

Подробный ответ

Разложим число $$2^n+1$$ на множители:

$$2^n+1=(2+1)\bigl(2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}-\dots-2+1\bigr)=3\bigl(2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}-\dots-2+1\bigr).$$

По условию число $$2^n+1$$ — простое. Тогда один из его множителей должен быть равен $$1$$, а другой — самому простому числу.

Так как $$3$$ — простое число, то второй множитель должен равняться $$1$$:

$$2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}-\dots-2+1=1.$$

Отсюда получаем:

$$2^n+1=3\cdot 1=3.$$

Если $$n=1$$, то $$2^1+1=3$$ — простое число.

Если $$n>1$$, то из равенства $$2^n+1=3$$ следует, что такое возможно только при $$n=1$$, а значит для простого значения выражения при $$n>1$$ число $$n$$ должно быть степенью числа $$2$$.

Следовательно, либо $$n=1$$, либо $$n$$ — степень числа $$2$$.