Упр.22.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 22.11. Известно, что $$n$$ и $$a$$ — натуральные числа ($$n>1$$), а значение выражения $$a^n-1$$ является простым числом. Найдите $$a$$.

Разложим выражение на множители:

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1).$$

Так как $$a^n-1$$ — простое число, то его разложение на множители возможно только в случае, когда один из множителей равен $$1$$, а другой — самому простому числу.

Поскольку $$n>1$$ и $$a$$ — натуральное число, получаем:

$$a-1=1,$$

откуда

$$a=2.$$

Ответ

$$a=2.$$