Упр.22.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) 3^99 +3^98 ·2+3^97 ·2^2 +…+3·2^98 +2^99 +2^100;
2) 4^20 -4^19 ·3+4^18 ·3^2 -…-4·3^19 +3^20.

1. Обозначим

   $$S=3^{99}+3^{98}\cdot 2+3^{97}\cdot 2^2+\dots+3\cdot 2^{98}+2^{99}+2^{100}.$$

   Умножим сумму на $$3$$ и на $$2$$:

   $$3S=3^{100}+3^{99}\cdot 2+3^{98}\cdot 2^2+\dots+3^2\cdot 2^{98}+3\cdot 2^{99}+3\cdot 2^{100},$$

   $$2S=3^{99}\cdot 2+3^{98}\cdot 2^2+\dots+3\cdot 2^{99}+2^{100}+2^{101}.$$

   Вычтем второе равенство из первого:

   $$3S-2S=3^{100}-2^{101}.$$

   Значит,

   $$S=3^{100}-2^{101}.$$

2. Обозначим

   $$T=4^{20}-4^{19}\cdot 3+4^{18}\cdot 3^2-\dots-4\cdot 3^{19}+3^{20}.$$

   Умножим сумму на $$4$$ и на $$3$$:

   $$4T=4^{21}-4^{20}\cdot 3+4^{19}\cdot 3^2-\dots-4^2\cdot 3^{19}+4\cdot 3^{20},$$

   $$3T=4^{20}\cdot 3-4^{19}\cdot 3^2+4^{18}\cdot 3^3-\dots-4\cdot 3^{20}+3^{21}.$$

   Сложим эти равенства:

   $$4T+3T=4^{21}+3^{21}.$$

   Тогда

   $$7T=4^{21}+3^{21},$$

   откуда

   $$T=\frac{4^{21}+3^{21}}{7}.$$

Ответ

1) $$3^{100}-2^{101}$$; 2) $$\frac{4^{21}+3^{21}}{7}$$.