Упр.21.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 21.40. Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения n^8 +n^4 +1 является составным числом.

Преобразуем выражение:

$$n^8+n^4+1=n^8+2n^4+1-n^4=(n^4+1)^2-(n^2)^2.$$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$$ (n^4+1)^2-(n^2)^2=(n^4+1-n^2)(n^4+1+n^2). $$

Оба множителя больше 1 при любом натуральном $$n\ne 1$$, значит выражение представлено в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1. Следовательно, оно является составным числом.

Ответ

$$n^8+n^4+1$$ — составное число при любом натуральном $$n\ne 1$$.