Упр.21.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 21.33. О положительных числах $$a$$ и $$b$$ известно, что $$a^2+b=b^2+a$$. Верно ли, что $$a=b$$?

Из условия имеем:

$$a^2+b=b^2+a$$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$a^2-b^2-a+b=0$$

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

$$\left(a^2-b^2\right)-\left(a-b\right)=0$$

$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=0$$

$$\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=0$$

Произведение равно нулю, значит,

$$a-b=0 \quad \text{или} \quad a+b-1=0.$$

Из первого равенства получаем:

$$a=b.$$

Но из второго равенства следует лишь $$a+b=1$$, что не обязательно означает $$a=b$$. Например, при $$a=\frac{1}{4}$$ и $$b=\frac{3}{4}$$ равенство $$a^2+b=b^2+a$$ выполняется, но $$a\ne b$$.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ

Нет, не верно.