Упр.21.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 21.33. О положительных числах a и b известно, что a^2 +b=b^2 +a. Верно ли, что a=b? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 21-33 715

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$a^2+b=b^2+a$$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$a^2-b^2-a+b=0$$

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

$$\left(a^2-b^2\right)-\left(a-b\right)=0$$

$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=0$$

$$\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=0$$

Произведение равно нулю, значит,

$$a-b=0 \quad \text{или} \quad a+b-1=0.$$

Из первого равенства получаем:

$$a=b.$$

Но из второго равенства следует лишь $$a+b=1$$, что не обязательно означает $$a=b$$. Например, при $$a=\frac{1}{4}$$ и $$b=\frac{3}{4}$$ равенство $$a^2+b=b^2+a$$ выполняется, но $$a\ne b$$.

Следовательно, утверждение неверно.