Упр.21.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c);
2) (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).

1. Преобразуем левую часть:

   $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $$

   Используем формулу разности кубов:

   $$ (a+b+c)^3-a^3=((a+b+c)-a)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr) $$

   Тогда

   $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 = (b+c)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr)-b^3-c^3 $$

   Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

   $$ = (b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc)-(b^3+c^3) $$

   После преобразований получаем:

   $$ = (b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc) = 3(a+b)(b+c)(a+c) $$

2. Преобразуем левую часть:

   $$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3 $$

   Раскроем кубы:

   $$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $$

   $$ (b-c)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3 $$

   $$ (a-c)^3=a^3-3a^2c+3ac^2-c^3 $$

   Подставим и упростим:

   $$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3 = -3a^2b+3ab^2-3b^2c+3bc^2+3a^2c-3ac^2 $$

   Вынесем общий множитель:

   $$ = 3(a-c)(b-a)(b-c) = -3(a-b)(b-c)(a-c) $$

Ответ

1) $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c) $$

2) $$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c) $$