Упр.21.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 21.24. Докажите тождество:
   1) $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c);$$
   2) $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$

1. Преобразуем левую часть:

   $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$(a+b+c)^3-a^3=((a+b+c)-a)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr)$$

   Тогда

   $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 = (b+c)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr)-b^3-c^3$$

   Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

   $$= (b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc)-(b^3+c^3)$$

   После преобразований получаем:

   $$= (b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc) = 3(a+b)(b+c)(a+c)$$

2. Преобразуем левую часть:

   $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3$$

   Раскроем кубы:

   $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

   $$(b-c)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3$$

   $$(a-c)^3=a^3-3a^2c+3ac^2-c^3$$

   Подставим и упростим:

   $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3 = -3a^2b+3ab^2-3b^2c+3bc^2+3a^2c-3ac^2$$

   Вынесем общий множитель:

   $$= 3(a-c)(b-a)(b-c) = -3(a-b)(b-c)(a-c)$$

Ответ

1) $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c)$$

2) $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c)$$