Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 21.23. Разложите выражение на множители двумя способами: а) примените формулу разности квадратов; б) раскройте скобки и примените метод группировки: 1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2$$; 2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2$$.

1. 1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2$$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$(ab+1)^2-(a+b)^2=((ab+1)-(a+b))((ab+1)+(a+b))$$
   $$=(ab-a-b+1)(ab+a+b+1)$$
   $$=(a(b-1)-(b-1))((a+b)+ (ab+1))$$
   $$=(b-1)(a-1)(b+1)(a+1)$$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$(ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-(a^2+2ab+b^2)$$
   $$=a^2b^2-a^2+1-b^2$$
   $$=a^2(b^2-1)-(b^2-1)$$
   $$=(b^2-1)(a^2-1)$$
   $$=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)$$

2. 2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2$$

   а) По формуле разности квадратов:

   $$(a+2b)^2-(ab+2)^2=((a+2b)-(ab+2))((a+2b)+(ab+2))$$
   $$=(a-ab+2b-2)(a+ab+2b+2)$$
   $$=(a(1-b)-2(1-b))(a(1+b)+2(1+b))$$
   $$=(1-b)(a-2)(1+b)(a+2)$$

   б) Раскроем скобки и сгруппируем:

   $$(a+2b)^2-(ab+2)^2=a^2+4ab+4b^2-(a^2b^2+4ab+4)$$
   $$=a^2-a^2b^2+4b^2-4$$
   $$=a^2(1-b^2)+4(b^2-1)$$
   $$=(1-b^2)(a^2-4)$$
   $$=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)$$

Ответ

$$(ab+1)^2-(a+b)^2=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)$$
$$(a+2b)^2-(ab+2)^2=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)$$