Упр.20.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) (x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y);
2) (3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+1;
3) (2+y^2 )^3-4(2+3y^2 )=y^4 (6+y^2 );
4) (2^n-3^n )^3-8^n+?27?^n=-3•6^n (2^n-3^n ), где n — натуральное число.

1. Раскроем скобки в левой части:

   $$ (x+y)^3-x^3-y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3 $$

   $$ =3x^2y+3xy^2=3xy(x+y) $$

2. Раскроем куб двучлена:

   $$ (3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+27x^2+9x+1-27x^2-9x $$

   $$ =27x^3+1 $$

3. Раскроем куб суммы:

   $$ (2+y^2)^3-4(2+3y^2)=8+12y^2+6y^4+y^6-8-12y^2 $$

   $$ =6y^4+y^6=y^4(6+y^2) $$

4. Преобразуем левую часть:

   $$ (2^n-3^n)^3-8^n+27^n $$

   $$ =\left(2^n-3^n\right)^3-\left(2^3\right)^n+\left(3^3\right)^n $$

   $$ =2^{3n}-3\cdot 2^{2n}3^n+3\cdot 2^n3^{2n}-3^{3n}-2^{3n}+3^{3n} $$

   $$ =-3\cdot 2^{2n}3^n+3\cdot 2^n3^{2n} =-3\cdot 2^n3^n(2^n-3^n) $$

   $$ =-3\cdot 6^n(2^n-3^n) $$

Ответ

1) $$ (x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y) $$

2) $$ (3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+1 $$

3) $$ (2+y^2)^3-4(2+3y^2)=y^4(6+y^2) $$

4) $$ (2^n-3^n)^3-8^n+27^n=-3\cdot 6^n(2^n-3^n) $$