Упр.20.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 20.9. Докажите тождество:
   1) $$(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y);$$
   2) $$(3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+1;$$
   3) $$(2+y^2)^3-4(2+3y^2)=y^4(6+y^2);$$
   4) $$(2^n-3^n)^3-8^n+27^n=-3\cdot6^n(2^n-3^n),$$ где $$n$$ — натуральное число.

1. Раскроем скобки в левой части:

   $$(x+y)^3-x^3-y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3$$

   $$=3x^2y+3xy^2=3xy(x+y)$$

2. Раскроем куб двучлена:

   $$(3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+27x^2+9x+1-27x^2-9x$$

   $$=27x^3+1$$

3. Раскроем куб суммы:

   $$(2+y^2)^3-4(2+3y^2)=8+12y^2+6y^4+y^6-8-12y^2$$

   $$=6y^4+y^6=y^4(6+y^2)$$

4. Преобразуем левую часть:

   $$(2^n-3^n)^3-8^n+27^n$$

   $$=\left(2^n-3^n\right)^3-\left(2^3\right)^n+\left(3^3\right)^n$$

   $$=2^{3n}-3\cdot 2^{2n}3^n+3\cdot 2^n3^{2n}-3^{3n}-2^{3n}+3^{3n}$$

   $$=-3\cdot 2^{2n}3^n+3\cdot 2^n3^{2n} =-3\cdot 2^n3^n(2^n-3^n)$$

   $$=-3\cdot 6^n(2^n-3^n)$$

Ответ

1) $$(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$$

2) $$(3x+1)^3-9x(3x+1)=27x^3+1$$

3) $$(2+y^2)^3-4(2+3y^2)=y^4(6+y^2)$$

4) $$(2^n-3^n)^3-8^n+27^n=-3\cdot 6^n(2^n-3^n)$$