Упр.20.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

20. Выполните возведение в куб:
    а) $$\left(3x^4+2y^2\right)^3$$;
    б) $$\left(a^2m-b^3n\right)^3$$;
    в) $$\left(3n+4^{m-1}\right)^3$$, где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

1. Используем формулу куба суммы:

   $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

   Пусть $$a=3x^4$$, $$b=2y^2$$. Тогда

   $$(3x^4+2y^2)^3=(3x^4)^3+3(3x^4)^2\cdot 2y^2+3\cdot 3x^4\cdot (2y^2)^2+(2y^2)^3$$

   $$=27x^{12}+54x^8y^2+36x^4y^4+8y^6.$$

2. Используем формулу куба разности:

   $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

   Пусть $$a=a^2m$$, $$b=b^3n$$. Тогда

   $$(a^2m-b^3n)^3=(a^2m)^3-3(a^2m)^2\cdot b^3n+3a^2m\cdot (b^3n)^2-(b^3n)^3$$

   $$=a^6m^3-3a^4m^2b^3n+3a^2mb^6n^2-b^9n^3.$$

3. Пусть $$a=3n$$, $$b=4^{m-1}$$. Тогда

   $$(3n+4^{m-1})^3=(3n)^3+3(3n)^2\cdot 4^{m-1}+3\cdot 3n\cdot (4^{m-1})^2+(4^{m-1})^3$$

   $$=27n^3+27n^2\cdot 4^{m-1}+9n\cdot 4^{2m-2}+4^{3m-3}.$$

Ответ

1) $$27x^{12}+54x^8y^2+36x^4y^4+8y^6$$;
2) $$a^6m^3-3a^4m^2b^3n+3a^2mb^6n^2-b^9n^3$$;
3) $$27n^3+27n^2\cdot 4^{m-1}+9n\cdot 4^{2m-2}+4^{3m-3}$$.