Упр.20.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 20.5. Выполните возведение в куб:
   1) $$\left(2x^2-y^3\right)^3$$;
   2) $$\left(x^n+y^{2n}\right)^3$$;
   3) $$\left(2^{n+1}-3m\right)^3$$, где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

1. Используем формулу куба разности:

   $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

   Пусть $$a=2x^2$$, $$b=y^3$$. Тогда

   $$(2x^2-y^3)^3=(2x^2)^3-3(2x^2)^2y^3+3\cdot 2x^2\cdot (y^3)^2-(y^3)^3$$

   $$=8x^6-12x^4y^3+6x^2y^6-y^9$$

2. Используем формулу куба суммы:

   $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

   Пусть $$a=xn$$, $$b=y^{2n}$$. Тогда

   $$(xn+y^{2n})^3=(xn)^3+3(xn)^2y^{2n}+3(xn)(y^{2n})^2+(y^{2n})^3$$

   $$=x^3n^3+3x^2n^2y^{2n}+3xny^{4n}+y^{6n}$$

3. Снова применим формулу куба разности:

   $$(2^{n+1}-3m)^3=(2^{n+1})^3-3(2^{n+1})^2\cdot 3m+3\cdot 2^{n+1}\cdot (3m)^2-(3m)^3$$

   $$=2^{3n+3}-9m\cdot 2^{2n+2}+27m^2\cdot 2^{n+1}-27m^3$$

Ответ

$$1)\ 8x^6-12x^4y^3+6x^2y^6-y^9;$$

$$2)\ x^3n^3+3x^2n^2y^{2n}+3xny^{4n}+y^{6n};$$

$$3)\ 2^{3n+3}-9m\cdot 2^{2n+2}+27m^2\cdot 2^{n+1}-27m^3.$$