Упр.20.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

20. Докажите, что значение выражения $$1002\cdot1004^3-1003\cdot1001^3$$ является кубом натурального числа.

Пусть $$n=1002.$$ Тогда $$1004=n+2,\quad 1003=n+1,\quad 1001=n-1.$$

Преобразуем выражение:

$$1002\cdot 1004^3-1003\cdot 1001^3=n(n+2)^3-(n+1)(n-1)^3.$$

$$n(n+2)^3-(n+1)(n-1)^3 = n(n^3+6n^2+12n+8)-(n+1)(n^3-3n^2+3n-1)$$

$$= n^4+6n^3+12n^2+8n-\bigl(n^4-2n^3+2n-1\bigr)$$

$$= 8n^3+12n^2+6n+1=(2n+1)^3.$$

Подставим $$n=1002$$:

$$(2n+1)^3=(2\cdot 1002+1)^3=2005^3.$$

Значит, данное выражение является кубом натурального числа.

Ответ

$$2005^3$$