Упр.20.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 20.19. Докажите, что значение выражения 1002·1004^3 -1003·1001^3 является кубом натурального числа.

Пусть $$n=1002.$$ Тогда $$1004=n+2,\quad 1003=n+1,\quad 1001=n-1.$$

Преобразуем выражение:

$$1002\cdot 1004^3-1003\cdot 1001^3=n(n+2)^3-(n+1)(n-1)^3.$$

$$ n(n+2)^3-(n+1)(n-1)^3 = n(n^3+6n^2+12n+8)-(n+1)(n^3-3n^2+3n-1) $$

$$ = n^4+6n^3+12n^2+8n-\bigl(n^4-2n^3+2n-1\bigr) $$

$$ = 8n^3+12n^2+6n+1=(2n+1)^3. $$

Подставим $$n=1002$$:

$$ (2n+1)^3=(2\cdot 1002+1)^3=2005^3. $$

Значит, данное выражение является кубом натурального числа.

Ответ

$$2005^3$$