Упр.20.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 20.14. Разложите на множители многочлен: 1) $$x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3$$; 2) $$7a^3-12a^2+6a-1$$.

1) Преобразуем многочлен, выделив полный куб:

$$x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+y^3$$

$$=(x+y)^3+y^3$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Тогда

$$(x+y)^3+y^3=((x+y)+y)\big((x+y)^2-y(x+y)+y^2\big)$$

$$=(x+2y)(x^2+2xy+y^2-xy-y^2+y^2)$$

$$=(x+2y)(x^2+xy+y^2)$$

2) Представим многочлен как разность кубов:

$$7a^3-12a^2+6a-1=8a^3-12a^2+6a-1-a^3$$

$$=(2a-1)^3-a^3$$

Применим формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Получаем:

$$(2a-1)^3-a^3=\big((2a-1)-a\big)\big((2a-1)^2+a(2a-1)+a^2\big)$$

$$=(a-1)(4a^2-4a+1+2a^2-a+a^2)$$

$$=(a-1)(7a^2-5a+1)$$

Ответ

1) $$(x+2y)(x^2+xy+y^2)$$

2) $$(a-1)(7a^2-5a+1)$$