Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 20.13. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ делится нацело на 16.

Преобразуем выражение:

$$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$

$$=8n^3-12n^2+6n-1-4n^2+2n+1$$

$$=8n^3-16n^2+8n$$

$$=8n(n^2-2n+1)$$

$$=8n(n-1)^2.$$

Так как числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные натуральные числа, то одно из них чётное. Значит, произведение $$n(n-1)^2$$ делится на $$2$$. Тогда выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.

Следовательно, значение выражения $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ при любом натуральном $$n$$ делится нацело на $$16$$.

Ответ

Делится нацело на $$16$$.