Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 20.13. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n-1)^3 -4n^2 +2n+1 делится нацело на 16.

Преобразуем выражение:

$$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 $$

$$ =8n^3-12n^2+6n-1-4n^2+2n+1 $$

$$ =8n^3-16n^2+8n $$

$$ =8n(n^2-2n+1) $$

$$ =8n(n-1)^2. $$

Так как числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные натуральные числа, то одно из них чётное. Значит, произведение $$n(n-1)^2$$ делится на $$2$$. Тогда выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.

Следовательно, значение выражения $$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 $$ при любом натуральном $$n$$ делится нацело на $$16$$.

Ответ

Делится нацело на $$16$$.