Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) x^3-y^3-(x-y)^3=3xy(x-y);
2) (6x-1)^3-216x^3+1=18x(1-6x);
3) (b^2+3)^3-27(b^2+1)=b^4 (b^2+9);
4) (3^n-2)^3-?27?^n+8=2•3^(n+1) (2-3^n ), где n — натуральное число.

1. Раскроем скобки по формуле куба разности:

   $$ x^3-y^3-(x-y)^3=x^3-y^3-\left(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\right) $$

   $$ =x^3-y^3-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3 $$

   $$ =3x^2y-3xy^2=3xy(x-y). $$

2. Раскроем куб двучлена:

   $$ (6x-1)^3-216x^3+1=(216x^3-108x^2+18x-1)-216x^3+1 $$

   $$ =-108x^2+18x=18x(1-6x). $$

3. Раскроем скобки:

   $$ (b^2+3)^3-27(b^2+1) $$

   $$ =\left(b^6+9b^4+27b^2+27\right)-27b^2-27 $$

   $$ =b^6+9b^4=b^4(b^2+9). $$

4. Используем формулу куба двучлена:

   $$ (3^n-2)^3-27^n+8=(3^n-2)^3-(3^n)^3+2^3 $$

   $$ =\left(3^{3n}-6\cdot 3^{2n}+12\cdot 3^n-8\right)-27^n+8 $$

   Так как $$27^n=3^{3n},$$ получаем:

   $$ -6\cdot 3^{2n}+12\cdot 3^n=6\cdot 3^n(2-3^n)=2\cdot 3^{n+1}(2-3^n). $$

Ответ

1) $$x^3-y^3-(x-y)^3=3xy(x-y);$$
2) $$(6x-1)^3-216x^3+1=18x(1-6x);$$
3) $$(b^2+3)^3-27(b^2+1)=b^4(b^2+9);$$
4) $$(3^n-2)^3-27^n+8=2\cdot 3^{n+1}(2-3^n).$$