Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 20.10. Докажите тождества:
   1) $$x^3-y^3-(x-y)^3=3xy(x-y);$$
   2) $$(6x-1)^3-216x^3+1=18x(1-6x);$$
   3) $$(b^2+3)^3-27(b^2+1)=b^4(b^2+9);$$
   4) $$(3^n-2)^3-27^n+8=2\cdot3^{n+1}(2-3^n),$$ где $$n$$ — натуральное число.

1. Раскроем скобки по формуле куба разности:

   $$x^3-y^3-(x-y)^3=x^3-y^3-\left(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\right)$$

   $$=x^3-y^3-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3$$

   $$=3x^2y-3xy^2=3xy(x-y).$$

2. Раскроем куб двучлена:

   $$(6x-1)^3-216x^3+1=(216x^3-108x^2+18x-1)-216x^3+1$$

   $$=-108x^2+18x=18x(1-6x).$$

3. Раскроем скобки:

   $$(b^2+3)^3-27(b^2+1)$$

   $$=\left(b^6+9b^4+27b^2+27\right)-27b^2-27$$

   $$=b^6+9b^4=b^4(b^2+9).$$

4. Используем формулу куба двучлена:

   $$(3^n-2)^3-27^n+8=(3^n-2)^3-(3^n)^3+2^3$$

   $$=\left(3^{3n}-6\cdot 3^{2n}+12\cdot 3^n-8\right)-27^n+8$$

   Так как $$27^n=3^{3n},$$ получаем:

   $$-6\cdot 3^{2n}+12\cdot 3^n=6\cdot 3^n(2-3^n)=2\cdot 3^{n+1}(2-3^n).$$

Ответ

1) $$x^3-y^3-(x-y)^3=3xy(x-y);$$
2) $$(6x-1)^3-216x^3+1=18x(1-6x);$$
3) $$(b^2+3)^3-27(b^2+1)=b^4(b^2+9);$$
4) $$(3^n-2)^3-27^n+8=2\cdot 3^{n+1}(2-3^n).$$