Упр.196 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Из двух городов, расстояние между которыми равно $$270\ \text{км}$$, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через $$2\ \text{ч}$$ после начала движения расстояние между ними составляло $$30\ \text{км}$$. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на $$10\ \text{км/ч}$$ больше скорости другого.
- Докажите, что значение выражения:
1) $$10^{100}+8$$ делится нацело на $$9$$;
2) $$111n-6$$ делится нацело на $$5$$ при любом натуральном значении $$n$$.
1) Пусть $$x$$ км/ч — скорость одного автомобиля, тогда $$x+10$$ км/ч — скорость второго.
За $$2$$ ч они вместе проедут $$2x+2(x+10)$$ км. Так как расстояние между городами было $$270$$ км, а через $$2$$ ч между автомобилями осталось $$30$$ км, то
$$2x+2(x+10)=270-30$$
$$2x+2x+20=240$$
$$4x=220$$
$$x=55$$
Тогда скорость второго автомобиля:
$$55+10=65$$
2) $$10^{100}+8$$ делится нацело на $$9$$, так как число $$10^{100}$$ оканчивается на $$1$$, значит, сумма цифр числа $$10^{100}+8$$ равна $$1+8=9$$. Следовательно, это число делится на $$9$$.
3) $$111n-6$$ делится нацело на $$5$$ при любом натуральном $$n$$, так как число $$111$$ при возведении в любую натуральную степень оканчивается на $$1$$, значит, $$111^n-6$$ оканчивается на $$5$$. Следовательно, оно делится на $$5$$.
Ответ
$$55$$ км/ч и $$65$$ км/ч; $$10^{100}+8$$ делится на $$9$$; $$111^n-6$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.
