Упр.195 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет в $$1\frac{3}{4}$$ раза больше данного. Найдите данное число.
2. Докажите, что значение выражения:
   1. $$101^{101}+103^{103}$$ делится нацело на 2;
   2. $$16^7+15^8-11^9$$ делится нацело на 10;
   3. $$10^{10}-7$$ делится нацело на 3;
   4. $$6^n-1$$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $$n$$.

Пусть в двузначном числе x единиц, тогда десятков — x — 2.

Тогда данное число равно:

$$10(x-2)+x=11x-20.$$

Если цифры переставить, получим число:

$$10x+(x-2)=11x-2.$$

По условию, переставленное число в $$1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$$ раза больше данного, значит:

$$11x-2=\frac{7}{4}(11x-20).$$

Умножим обе части на 4:

$$4(11x-2)=7(11x-20)$$

$$44x-8=77x-140$$

$$77x-44x=140-8$$

$$33x=132$$

$$x=4.$$

Тогда десятков:

$$x-2=2.$$

Искомое число:

$$24.$$

Проверим утверждения.

1. $$101^{101}+103^{103}$$

   Оба слагаемых — нечётные числа, значит их сумма чётная. Следовательно, выражение делится на 2.

2. $$16^7+15^8-11^9$$

   Последняя цифра чисел $$16^7$$, $$15^8$$ и $$11^9$$ равна соответственно $$6$$, $$5$$ и $$1$$. Тогда последняя цифра всего выражения:

   $$6+5-1=10,$$

   то есть выражение оканчивается на 0 и делится на 10.

3. $$10^{10}-7$$

   Число $$10^{10}$$ оканчивается на 1 и 10 нулей, поэтому

   $$10^{10}-7=9999999993.$$

   Сумма цифр этого числа:

   $$9\cdot 9+3=84,$$

   а число $$84$$ делится на 3. Значит, и данное число делится на 3.

4. $$6^n-1$$

   При любом натуральном $$n$$ число $$6^n$$ оканчивается на 6, значит $$6^n-1$$ оканчивается на 5. Следовательно, выражение делится на 5.

Ответ

$$24;$$

1) делится на 2; 2) делится на 10; 3) делится на 3; 4) делится на 5.