Задание 9 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c);$$
2. $$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(a+c).$$

1) Преобразуем левую часть:

$$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=a^2b+ab^2+b^2c-bc^2-a^2c-ac^2$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(a^2b-a^2c)+(ab^2-ac^2)+(b^2c-bc^2)$$

$$=a^2(b-c)+a(b^2-c^2)+bc(b-c)$$

$$=a^2(b-c)+a(b-c)(b+c)+bc(b-c)$$

$$=(b-c)\bigl(a^2+a(b+c)+bc\bigr)$$

$$=(b-c)(a+b)(a+c)$$

Следовательно,

$$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c).$$

2) Преобразуем левую часть:

$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc$$

$$=a^2b+ab^2+abc+a^2c+abc+ac^2+abc+b^2c+bc^2-abc$$

$$=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+abc+b^2c+bc^2$$

Сгруппируем:

$$(ab^2+a^2b)+(ac^2+a^2c)+(b^2c+bc^2)+abc$$

$$=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+abc$$

$$=(a+b)(ab+ac+bc)+c(b+c)(a+b)$$

Удобнее сразу разложить по множителям:

$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(a+c)(b+c).$$

Значит,

$$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(a+c).$$

Ответ

1) $$ab(a+b)+bc(b-c)-ac(a+c)=(a+b)(a+c)(b-c)$$

2) $$(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)$$