Упр.19.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

19. 31. Найдите значение каждого из следующих выражений при $$a=1$$ и $$a=-1$$:
    1) $$a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{99}+a^{100}$$;
    2) $$a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{98}+a^{99}$$;
    3) $$a\cdot a^2\cdot a^3\cdot a^4\cdots a^{99}\cdot a^{100}$$;
    4) $$a\cdot a^2\cdot a^3\cdot a^4\cdots a^{98}\cdot a^{99}$$.

1. $$a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{99}+a^{100}$$

   При $$a=1$$ получаем:

   $$1+1^2+1^3+1^4+\dots+1^{99}+1^{100}=100.$$

   При $$a=-1$$:

   $$(-1)+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+\dots+(-1)^{99}+(-1)^{100}=50-50=0.$$

2. $$a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{98}+a^{99}$$

   При $$a=1$$:

   $$1+1^2+1^3+1^4+\dots+1^{98}+1^{99}=99.$$

   При $$a=-1$$:

   $$(-1)+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+\dots+(-1)^{98}+(-1)^{99}=49-50=-1.$$

3. $$aa^2a^3a^4\dots a^{99}a^{100}$$

   Это произведение равно:

   $$a^{1+2+3+\dots+100}.$$

   При $$a=1$$:

   $$1^{1+2+3+\dots+100}=1.$$

   При $$a=-1$$:

   $$(-1)^{1+2+3+\dots+100}=(-1)^{5050}=1,$$

   так как показатель степени чётный.

4. $$aa^2a^3a^4\dots a^{98}a^{99}$$

   Это произведение равно:

   $$a^{1+2+3+\dots+99}.$$

   При $$a=1$$:

   $$1^{1+2+3+\dots+99}=1.$$

   При $$a=-1$$:

   $$(-1)^{1+2+3+\dots+99}=(-1)^{4950}=1,$$

   так как показатель степени чётный.

Ответ

1) $$100$$ при $$a=1$$, $$0$$ при $$a=-1$$;

2) $$99$$ при $$a=1$$, $$-1$$ при $$a=-1$$;

3) $$1$$ при $$a=1$$, $$1$$ при $$a=-1$$;

4) $$1$$ при $$a=1$$, $$1$$ при $$a=-1$$.