Упр.19.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

19. 28. Используя результат задачи 19.27, разложите на множители выражение $$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$$.

Используем результат задачи 19.27:

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Положим

$$a_1=a-b,\quad b_1=b-c,\quad c_1=c-a.$$

Тогда

$$a_1+b_1+c_1=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,$$

и потому

$$a_1^3+b_1^3+c_1^3=3a_1b_1c_1.$$

Следовательно,

$$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a).$$

Ответ

$$3(a-b)(b-c)(c-a)$$