Упр.19.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 19.27. Докажите, что если $$a+b+c=0$$, то $$a^3+b^3+c^3=3abc$$.

Из условия $$a+b+c=0$$ получаем $$c=-(a+b)$$.

Тогда

$$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3.$$

Раскроем куб суммы:

$$a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=-3a^2b-3ab^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$-3a^2b-3ab^2=-3ab(a+b).$$

Так как $$c=-(a+b)$$, то

$$-3ab(a+b)=3abc.$$

Следовательно,

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$

Ответ

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$