Упр.19.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 19.27. Докажите, что если а + b + с = О, то a^3 +b^3 +c^3 = 3abc. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 19-27 715

Из условия $$a+b+c=0$$ получаем $$c=-(a+b)$$.

Тогда

$$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3.$$

Раскроем куб суммы:

$$a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=-3a^2b-3ab^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$-3a^2b-3ab^2=-3ab(a+b).$$

Так как $$c=-(a+b)$$, то

$$-3ab(a+b)=3abc.$$

Следовательно,

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$

Ответ

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$