Упр.19.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 19.23. Известно, что числа $$x$$ и $$y$$ таковы, что $$x^2+y^2=1$$. Найдите значение выражения $$x^6+3x^2y^2+y^6$$.

Используем формулу суммы кубов в виде разложения:

$$x^6+3x^2y^2+y^6=(x^6+y^6)+3x^2y^2.$$

Представим сумму шестых степеней так:

$$x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4).$$

Так как $$x^2+y^2=1,$$ получаем:

$$x^6+y^6=(x^4-x^2y^2+y^4).$$

Тогда

$$x^6+3x^2y^2+y^6=x^4-x^2y^2+y^4+3x^2y^2=x^4+2x^2y^2+y^4.$$

Сгруппируем:

$$x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2.$$

Подставим $$x^2+y^2=1$$:

$$(x^2+y^2)^2=1^2=1.$$

Ответ

$$1$$