Упр.19.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 19.22. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 19-22 715

Пусть два последовательных натуральных числа, не кратные 3, имеют вид $$3n-1$$ и $$3n+1$$.

Тогда их сумма кубов равна

$$ (3n-1)^3+(3n+1)^3 $$

Используем формулу суммы кубов:

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$

При $$a=3n-1$$ и $$b=3n+1$$ получаем

$$ (3n-1)^3+(3n+1)^3=((3n-1)+(3n+1))\big((3n-1)^2-(3n-1)(3n+1)+(3n+1)^2\big) $$

$$ =6n\big((9n^2-6n+1)-(9n^2-1)+(9n^2+6n+1)\big) $$

$$ =6n(9n^2+3)=18n(3n^2+1) $$

Так как $$18$$ делится на $$9$$, то и всё выражение делится нацело на $$9$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно $$3$$, делится нацело на $$9$$.