Упр.19.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 19.21. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны $$2n-1$$ и $$2n+1$$.

Тогда их сумма кубов:

$$(2n-1)^3+(2n+1)^3$$

Раскроем скобки по формуле суммы кубов:

$$(2n-1)^3+(2n+1)^3=((2n-1)+(2n+1))\bigl((2n-1)^2-(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2\bigr).$$

Упростим:

$$(2n-1)+(2n+1)=4n,$$

$$(2n-1)^2-(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2$$

$$=(4n^2-4n+1)-(4n^2-1)+(4n^2+4n+1)=4n^2+3.$$

Значит,

$$(2n-1)^3+(2n+1)^3=4n(4n^2+3).$$

Это произведение делится нацело на 4, так как содержит множитель $$4n$$.

Ответ

Сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.