Упр.19.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 19.21. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 19-21 715

Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны $$2n-1$$ и $$2n+1$$.

Тогда их сумма кубов:

$$ (2n-1)^3+(2n+1)^3 $$

Раскроем скобки по формуле суммы кубов:

$$ (2n-1)^3+(2n+1)^3=((2n-1)+(2n+1))\bigl((2n-1)^2-(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2\bigr). $$

Упростим:

$$ (2n-1)+(2n+1)=4n, $$

$$ (2n-1)^2-(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2 $$

$$ =(4n^2-4n+1)-(4n^2-1)+(4n^2+4n+1)=4n^2+3. $$

Значит,

$$ (2n-1)^3+(2n+1)^3=4n(4n^2+3). $$

Это произведение делится нацело на 4, так как содержит множитель $$4n$$.

Ответ

Сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.