Упр.19.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 19.19. Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 19-19 715

Подробный ответ

Подойдёт, например, многочлен $$x^{24}-64y^{36}.$$

Его можно представить как разность квадратов:

$$x^{24}-64y^{36}=(x^{12})^2-(8y^{18})^2=(x^{12}-8y^{18})(x^{12}+8y^{18}).$$

Теперь разложим каждый множитель как разность кубов:

$$x^{12}-8y^{18}=(x^4)^3-(2y^6)^3=(x^4-2y^6)(x^8+2x^4y^6+4y^{12}),$$

$$x^{12}+8y^{18}$$

не является разностью кубов, поэтому для разложения по формуле разности кубов удобнее сразу выбрать другой вид многочлена, например

$$x^{24}-64y^{36}=(x^8)^3-(4y^{12})^3=(x^8-4y^{12})(x^{16}+4x^8y^{12}+16y^{24}).$$

При этом первый множитель можно разложить как разность квадратов:

$$x^8-4y^{12}=(x^4)^2-(2y^6)^2=(x^4-2y^6)(x^4+2y^6).$$

Значит, один и тот же многочлен можно разложить и по формуле разности квадратов, и по формуле разности кубов.