Упр.19.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

19. Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$ такое, чтобы выражение $$x^{2n}-y^{3n}$$ можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Чтобы выражение $$x^{2n}-y^{3n}$$ можно было разложить и по формуле разности квадратов, и по формуле разности кубов, показатели степеней должны делиться соответственно на $$2$$ и на $$3$$.

Значит, число $$n$$ должно быть кратно и $$2$$, и $$3$$. Наименьшее такое натуральное число:

$$n=\operatorname{НОК}(2,3)=6.$$

Тогда

$$x^{2n}-y^{3n}=x^{12}-y^{18}.$$

Разложим это выражение двумя способами.

По формуле разности квадратов:

$$x^{12}-y^{18}=(x^6)^2-(y^9)^2=(x^6-y^9)(x^6+y^9).$$

По формуле разности кубов:

$$x^{12}-y^{18}=(x^4)^3-(y^6)^3=(x^4-y^6)(x^8+x^4y^6+y^{12}).$$

Ответ

$$n=6,$$

$$x^{12}-y^{18}=(x^6-y^9)(x^6+y^9)=(x^4-y^6)(x^8+x^4y^6+y^{12}).$$