Упр.19.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 19.17. Докажите, что значение выражения: а) $$341^3+109^3$$ делится нацело на $$90$$; б) $$2^{15}+3^3$$ делится нацело на $$35$$.

1) Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$341^3+109^3=(341+109)(341^2-341\cdot109+109^2).$$

Так как $$341+109=450=90\cdot5,$$ то

$$341^3+109^3=90\cdot5\,(341^2-341\cdot109+109^2),$$

значит, выражение делится нацело на $$90$$.

2) Представим $$2^{15}$$ как куб:

$$2^{15}=(2^5)^3=32^3.$$

Тогда

$$2^{15}+3^3=32^3+3^3.$$

Снова применим формулу суммы кубов:

$$32^3+3^3=(32+3)(32^2-32\cdot3+3^2).$$

Получаем

$$32^3+3^3=35(1024-96+9)=35\cdot937,$$

значит, выражение делится нацело на $$35$$.

Ответ

1) делится нацело на $$90$$; 2) делится нацело на $$35$$.