Задание 13 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения $$n^4+4$$ является простым числом.

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$n^4+4=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)$$

Число простое, если оно имеет только два делителя: $$1$$ и само число. Значит, один из множителей должен быть равен $$1$$.

Рассмотрим случаи:

$$n^2+2-2n=1$$

$$n^2-2n+1=0$$

$$\left(n-1\right)^2=0$$

$$n=1$$

Проверим второй множитель при $$n=1$$:

$$1^4+4=5$$

Это простое число.

Если же

$$n^2+2+2n=1,$$

то

$$n^2+2n+1=0$$

$$\left(n+1\right)^2=0$$

$$n=-1,$$

но это не натуральное число.

Ответ

$$n=1$$