Задание 12 Параграф 19 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$n^3+5n$$ кратно 6.

Преобразуем выражение:

$$n^3+5n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=n(n-1)(n+1)+6n.$$

Числа $$n-1$$, $$n$$ и $$n+1$$ — три последовательных натуральных числа. Значит, среди них одно число делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Следовательно, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Тогда и сумма $$n(n-1)(n+1)+6n$$ делится на $$6$$, так как $$6n$$ тоже кратно $$6$$.

Значит, выражение $$n^3+5n$$ при любом натуральном $$n$$ кратно $$6$$.

Ответ

$$n^3+5n$$ кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.