Задание 6 Параграф 18 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Разложите на множители:

1. $$(a-1)^3-216$$;
2. $$(4x+3)^3+27$$;
3. $$125m^6-(3m-2)^3$$;
4. $$(b+6)^3-(b-6)^3$$.

1. Используем формулу разности кубов:

   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

   Тогда

   $$(a-1)^3-216=(a-1)^3-6^3=((a-1)-6)\big((a-1)^2+6(a-1)+6^2\big)$$

   $$=(a-7)(a^2-2a+1+6a-6+36)=(a-7)(a^2+4a+31).$$

2. Снова применим формулу разности кубов:

   $$(4x+3)^3+27=(4x+3)^3+3^3$$

   $$=\big((4x+3)+3\big)\big((4x+3)^2-3(4x+3)+3^2\big)$$

   $$=(4x+6)(16x^2+24x+9-12x-9+9)$$

   $$=(4x+6)(16x^2+12x+9)=2(2x+3)(16x^2+12x+9).$$

3. Представим выражение как разность кубов:

   $$125m^6-(3m-2)^3=(5m^2)^3-(3m-2)^3$$

   $$=(5m^2-(3m-2))\big((5m^2)^2+5m^2(3m-2)+(3m-2)^2\big)$$

   $$=(5m^2-3m+2)(25m^4+15m^3-10m^2+9m^2-12m+4)$$

   $$=(5m^2-3m+2)(25m^4+15m^3-m^2-12m+4).$$

4. Используем формулу разности кубов:

   $$(b+6)^3-(b-6)^3=\big((b+6)-(b-6)\big)\big((b+6)^2+(b+6)(b-6)+(b-6)^2\big)$$

   $$=12\big((b^2+12b+36)+(b^2-36)+(b^2-12b+36)\big)$$

   $$=12(3b^2+36)=36(b^2+12).$$

Ответ

1) $$(a-7)(a^2+4a+31)$$

2) $$2(2x+3)(16x^2+12x+9)$$

3) $$(5m^2-3m+2)(25m^4+15m^3-m^2-12m+4)$$

4) $$36(b^2+12)$$