Упр.18.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.56. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения n^2 +3n является квадратом натурального числа.

Рассмотрим выражение $$n^2+3n.$$

Сравним его с квадратами соседних натуральных чисел:

$$ (n+1)^2=n^2+2n+1, \qquad (n+2)^2=n^2+4n+4. $$

Тогда

$$ n^2+2n+1 \le n^2+3n < n^2+4n+4, $$

то есть

$$ (n+1)^2 \le n^2+3n < (n+2)^2. $$

Чтобы $$n^2+3n$$ было квадратом натурального числа, оно должно совпадать с левым квадратом:

$$ n^2+3n=(n+1)^2. $$

Решим уравнение:

$$ n^2+3n=n^2+2n+1 $$
$$ n=1. $$

Проверка: при $$n=1$$ получаем

$$ 1^2+3\cdot 1=4=2^2. $$

Ответ

$$n=1$$.