Упр.18.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

18. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения $$n^2+3n$$ является квадратом натурального числа.

Рассмотрим выражение $$n^2+3n.$$

Сравним его с квадратами соседних натуральных чисел:

$$(n+1)^2=n^2+2n+1, \qquad (n+2)^2=n^2+4n+4.$$

Тогда

$$n^2+2n+1 \le n^2+3n < n^2+4n+4,$$

то есть

$$(n+1)^2 \le n^2+3n < (n+2)^2.$$

Чтобы $$n^2+3n$$ было квадратом натурального числа, оно должно совпадать с левым квадратом:

$$n^2+3n=(n+1)^2.$$

Решим уравнение:

$$n^2+3n=n^2+2n+1$$
$$n=1.$$

Проверка: при $$n=1$$ получаем

$$1^2+3\cdot 1=4=2^2.$$

Ответ

$$n=1$$.