Упр.18.55 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.55. Докажите, что уравнение $$x^4-4x+5=0$$ не имеет корней.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$x^4-4x+5=0$$

Добавим и вычтем удобные слагаемые:

$$x^4-4x+5=x^4-4x^2+4+4x^2-4x+1$$

Тогда

$$x^4-4x+5=(x^2-2)^2+(2x-1)^2.$$

Получаем уравнение

$$(x^2-2)^2+(2x-1)^2=0.$$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x^2-2=0,\qquad 2x-1=0.$$

Из второго уравнения:

$$x=\frac12.$$

Проверим в первом:

$$\left(\frac12\right)^2-2=\frac14-2=-\frac74\ne 0.$$

Значит, общих решений нет, следовательно, исходное уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет.