Упр.18.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.54. Докажите, что уравнение x^4 -x+1/2=0 не имеет корней.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$x^4-x+\frac12=0$$

$$x^4-x^2+\frac14+x^2-x-\frac14+\frac12=0$$

$$\left(x^2-\frac12\right)^2+\left(x-\frac12\right)^2=0$$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x^2-\frac12=0 \quad \text{и} \quad x-\frac12=0$$

Из второго уравнения получаем:

$$x=\frac12$$

Проверим это значение в первом уравнении:

$$\left(\frac12\right)^2-\frac12= \frac14-\frac12=-\frac14 \ne 0$$

Получили противоречие. Значит, решений нет.

Ответ

Уравнение не имеет корней.