Упр.18.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.53. Докажите, что значение выражения $$999\cdot1001\cdot1003\cdot1005+16$$ является квадратом натурального числа.

Пусть $$n=1002.$$ Тогда

$$999\cdot 1001\cdot 1003\cdot 1005+16 =(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)+16.$$

Сгруппируем множители:

$$(n-3)(n+3)=(n^2-9), \qquad (n-1)(n+1)=(n^2-1).$$

Тогда

$$(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)+16=(n^2-9)(n^2-1)+16.$$

Раскроем скобки:

$$(n^2-9)(n^2-1)+16=n^4-10n^2+9+16=n^4-10n^2+25.$$

$$n^4-10n^2+25=(n^2-5)^2.$$

Подставим $$n=1002$$:

$$999\cdot 1001\cdot 1003\cdot 1005+16=(1002^2-5)^2.$$

Следовательно, значение выражения является квадратом натурального числа.

Ответ

$$(1002^2-5)^2$$
— квадрат натурального числа.