Упр.18.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.53. Докажите, что значение выражения 999·1001·1003·1005+16 является квадратом натурального числа.

Пусть $$n=1002.$$ Тогда

$$ 999\cdot 1001\cdot 1003\cdot 1005+16 =(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)+16. $$

Сгруппируем множители:

$$ (n-3)(n+3)=(n^2-9), \qquad (n-1)(n+1)=(n^2-1). $$

Тогда

$$ (n-3)(n-1)(n+1)(n+3)+16=(n^2-9)(n^2-1)+16. $$

Раскроем скобки:

$$ (n^2-9)(n^2-1)+16=n^4-10n^2+9+16=n^4-10n^2+25. $$

$$ n^4-10n^2+25=(n^2-5)^2. $$

Подставим $$n=1002$$:

$$ 999\cdot 1001\cdot 1003\cdot 1005+16=(1002^2-5)^2. $$

Следовательно, значение выражения является квадратом натурального числа.

Ответ

$$ (1002^2-5)^2 $$
— квадрат натурального числа.