Упр.18.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.52. Докажите, что значение выражения $$1000^2+1000^2\cdot1001^2+1001^2$$ является квадратом натурального числа.

Пусть $$n=1000.$$ Тогда данное выражение можно записать так:

$$n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$n^2+n^2(n^2+2n+1)+(n^2+2n+1)$$

$$= n^2+n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1$$

$$= n^4+2n^3+3n^2+2n+1.$$

Заметим, что это полный квадрат:

$$n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2.$$

Следовательно,

$$1000^2+1000^2\cdot1001^2+1001^2=(1000^2+1000+1)^2=(1000^2+1001)^2.$$

Значение выражения является квадратом натурального числа.

Ответ

$$\left(1000^2+1001\right)^2$$