Упр.18.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.51. Существует ли такое натуральное число $$n$$, при котором значение выражения $$2^8+2^{11}+2^n$$ является квадратом натурального числа?

Преобразуем выражение:

$$2^8+2^{11}+2^n=2^8(1+2^3+2^{n-8})=2^8(1+8+2^{n-8})=2^8(9+2^{n-8}).$$

Так как $$2^8=256=16^2,$$ то это уже квадрат натурального числа. Значит, нужно, чтобы и число $$9+2^{n-8}$$ было квадратом натурального числа.

Подберём значение $$n$$ так, чтобы $$2^{n-8}$$ было квадратом и сумма с 9 тоже стала квадратом. Например, если

$$2^{n-8}=16,$$

то

$$2^{n-8}=2^4,$$

откуда

$$n-8=4,\quad n=12.$$

Проверим:

$$9+2^{12-8}=9+16=25=5^2.$$

Тогда

$$2^8(9+2^{n-8})=256\cdot 25=6400=80^2,$$

то есть исходное выражение действительно является квадратом натурального числа.

Ответ

Да, существует, например $$n=12$$.