Упр.18.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

18. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Пусть

$$m=a^2+b^2,\quad n=x^2+y^2,$$

где $$a,b,x,y$$ — целые числа. Тогда

$$mn=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2.$$

Сгруппируем слагаемые так:

$$mn=(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2.$$

Добавим и вычтем одно и то же выражение $$2abxy$$:

$$mn=(ax)^2+2abxy+(by)^2+(ay)^2-2abxy+(bx)^2.$$

Тогда

$$mn=(ax+by)^2+(ay-bx)^2.$$

Оба числа $$ax+by$$ и $$ay-bx$$ — целые, значит произведение $$mn$$ представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Ответ

$$mn=(ax+by)^2+(ay-bx)^2.$$