Упр.18.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.41. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 18-41 715

Подробный ответ

Пусть

$$m=a^2+b^2,\quad n=x^2+y^2,$$

где $a,b,x,y$ — целые числа. Тогда

$$ mn=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2. $$

Сгруппируем слагаемые так:

$$ mn=(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2. $$

Добавим и вычтем одно и то же выражение $2abxy$:

$$ mn=(ax)^2+2abxy+(by)^2+(ay)^2-2abxy+(bx)^2. $$

Тогда

$$ mn=(ax+by)^2+(ay-bx)^2. $$

Оба числа $ax+by$ и $ay-bx$ — целые, значит произведение $mn$ представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.