Упр.18.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.40. Докажите, что выражение (n^2 -1)(m^2 -1) можно представить в виде разности квадратов двух выражений.

Преобразуем выражение:

$$ (n^2-1)(m^2-1)=n^2m^2-n^2-m^2+1 $$

Добавим и вычтем одно и то же слагаемое $$2mn$$:

$$ n^2m^2-n^2-m^2+1 = n^2m^2+2mn+1-(n^2+2mn+m^2) $$

Теперь запишем каждую часть как квадрат:

$$ n^2m^2+2mn+1=(mn+1)^2, $$
$$ n^2+2mn+m^2=(n+m)^2. $$

Тогда

$$ (n^2-1)(m^2-1)=(mn+1)^2-(n+m)^2. $$

Значит, выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений.

Ответ

$$ (n^2-1)(m^2-1)=(mn+1)^2-(n+m)^2 $$