Упр.18.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.40. Докажите, что выражение $$(n^2-1)(m^2-1)$$ можно представить в виде разности квадратов двух выражений.

Преобразуем выражение:

$$(n^2-1)(m^2-1)=n^2m^2-n^2-m^2+1$$

Добавим и вычтем одно и то же слагаемое $$2mn$$:

$$n^2m^2-n^2-m^2+1 = n^2m^2+2mn+1-(n^2+2mn+m^2)$$

Теперь запишем каждую часть как квадрат:

$$n^2m^2+2mn+1=(mn+1)^2,$$
$$n^2+2mn+m^2=(n+m)^2.$$

Тогда

$$(n^2-1)(m^2-1)=(mn+1)^2-(n+m)^2.$$

Значит, выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений.

Ответ

$$(n^2-1)(m^2-1)=(mn+1)^2-(n+m)^2$$