Упр.18.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

18.35. Существуют ли такие значения $$x$$ и $$y$$, при которых равно нулю значение многочлена:

1. $$x^2+4y^2+2x-4y+2$$;
2. $$9x^2+y^2-12x+8y+21$$?

1. Преобразуем многочлен:

   $$x^2+4y^2+2x-4y+2=0$$

   $$\left(x^2+2x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=0$$

   $$\left(x+1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x+1=0,\quad 2y-1=0$$

   $$x=-1,\quad y=\frac12$$

2. Преобразуем второй многочлен:

   $$9x^2+y^2-12x+8y+21=0$$

   $$\left(9x^2-12x+4\right)+\left(y^2+8y+16\right)+1=0$$

   $$\left(3x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2+1=0$$

   Левая часть — сумма неотрицательных выражений и числа $$1$$, поэтому она не может быть равна нулю.

Ответ

1) $$x=-1,\ y=\frac12$$

2) таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.